Lineare Algebra Beispiele

$y = \frac{- 2}{3} x + 4$ , $2 x + 3 y = 12$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2}{3} x + 4, 2 x + 3 y = 12$

Schritt 1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + 4, 2 x + 3 y = 12$

Schritt 1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + 4, 2 x + 3 y = 12$

Schritt 2

Addiere $\frac{2 x}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y + \frac{2 x}{3} = 4, 2 x + 3 y = 12$

Schritt 3

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 12 \end{array}]$

Schritt 4

Ermittle die reduzierte Zeilenstufenform, um eine der Variablen zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{3}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{3}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} & \frac{3}{2} \cdot 1 & \frac{3}{2} \cdot 4 \\ 2 & 3 & 12 \end{array}]$

Schritt 4.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 6 \\ 2 & 3 & 12 \end{array}]$

Schritt 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 6 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 (\frac{3}{2}) & 12 - 2 \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x + \frac{3 y}{2} = 6$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 y}{2} = 6 - x$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (6 - x)$

Schritt 6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (6 - x)$

Schritt 6.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (6 - x)$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{2}{3} (6 - x)$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (6 - x)$

Schritt 6.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2}{3} (6 - x)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache $\frac{2}{3} (6 - x)$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2}{3} \cdot 6 + \frac{2}{3} (- x)$

Schritt 6.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{2}{3} \cdot (3 (2)) + \frac{2}{3} (- x)$

Schritt 6.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2) + \frac{2}{3} (- x)$

Schritt 6.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \cdot 2 + \frac{2}{3} (- x)$

Schritt 6.3.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = 4 + \frac{2}{3} (- x)$

Schritt 6.3.2.1.4

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$y = 4 - \frac{2 x}{3}$

Schritt 6.4

Stelle $4$ und $- \frac{2 x}{3}$ um.

$y = - \frac{2 x}{3} + 4$

Schritt 7

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(x, - \frac{2 x}{3} + 4)$

Schritt 8

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{2 x}{3} + 4 \end{array}]$